pora.zavantag.com 1. Двумерные поверхности
страница 1

ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ И СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

акад. РАН А.Т. Фоменко

1 год, 1-3 курс

Осенний семестр.

Тема 1. Двумерные поверхности.

1. Проблема "распознавания образов" в топологии и геометрии.

2. Двумерные поверхности в евклидовом пространстве.

3. Погружения и вложения поверхностей.

4. Триангуляция и алгоритмические вопросы триангулируемости.

5. Алгоритм распознавания поверхности в классе полиэдров.

6. Теорема классификации двумерных поверхностей.

7. Ориентируемость и неориентируемость.

8. Топологические свойства проективной плоскости, бутылки Клейна.

Тема 2. Многомерные поверхности (многообразия).

1. Многообразия как поверхности в евклидовом пространстве.

2. Общая концепция многообразия.

3. Теоремы Уитни о вложении и погружении многообразий.

4. Примеры многообразий. Расслоение Хопфа.

5. Проективные пространства. Основные матричные группы.



Тема 3. Полиэдры и комплексы.

1. Симплициальные пространства. Триангуляции и клетки.

2. Клеточные пространства.

3. Гомотопия, гомотопическая эквивалентность. Накрытия.

4. Степень отображения гладких многообразий.

5. Теорема о степени.

6. Алгебраические инварианты как один из приемов "распознавания образов".

7. Фундаментальная группа и алгоритм ее вычисления.

8. Накрытия и фундаментальная группа.

9. Регулярные накрытия. Универсальные накрытия.

10. Теорема ван Кампена.

Тема 4. Гомологии.

1. Симплициальные гомологии и алгоритм их вычисления.

2. Клеточные гомологии.

3. Теорема об их совпадении для "хороших пространств".

4. Эйлерова характеристика.

Тема 5. Алгоритмы распознавания.

1. Алгоритм распознавания связности.

2. Алгоритм распознавания ориентируемости.

3. Алгоритмы распознавания в трехмерной топологии и геометрии.



Весенний семестр.

Тема 1. Функции Морса и топологическая категория Люстерника-Шнирельмана.

1. Категория Люстерника-Шнирельмана. Точки бифуркаций функций на многообразиях.

2. Теорема Люстерника-Шнирельмана (связь между категорией и числом точек бифуркации функции).

3. Примеры подсчета категории простых пространств.



Тема 2. Некоторые сведения о группах Ли и алгебрах Ли.

1. Основные матричные группы как гладкие многообразия и как группы Ли.

2. Алгебра Ли и ее связь с группой Ли. Экспоненциальное отображение. Пример, когда экспоненциальное отображение не накрывает всю группу Ли.

3. Матричные группы малых размерностей и некоторые изоморфизмы между ними.



Тема 3. Симплектическая геометрия в евклидовом пространстве.

1. Линейная симплектическая структура.

2. Изотропность, лагранжевость.

3. Матричная группа симплектических преобразований.



Тема 4. Симплектические многообразия.

1. Гладкая симплектическая структура на многообразии. Формулировка теоремы Дарбу. Канонические симплектические координаты.

2. Пример: двумерные поверхности как симплектические многообразия.

3. Другие примеры симплектических многообразий (кокасательные расслоения и т.п.).

4. Косой градиент и гамильтоновы векторные поля (динамические системы).

5. Локально гамильтоновы и глобально гамильтоновы поля. Связь с потенциальными векторными полями. Лемма Пуанкаре.

6. Гамильтоновы поля на двумерных поверхностях. Несжимаемые потоки идеальной жидкости. Комплексные потенциалы. Примеры несжимаемых потоков на плоскости и сфере.

7. Скобка Пуассона и ее основные свойства. Тождество Якоби для скобки Пауссона и замкнутость симплектической структуры.

8. Скобка Пуассона и векторные поля на симплектическом многообразии.

9. Доказательство теоремы Дарбу.



Тема 5. Интегрируемые гамильтоновы динамические системы.

1. Интегралы гамильтоновых полей. Инволютивность.

2. Теорема Лиувилля. Полная интегрируемость по Лиувиллю.

3. Отображение момента интегрируемой системы. Бифуркации торов Лиувилля и топология интегрируемой системы.

4. Уравнения движения тяжелого твердого тела в трехмерном пространстве (уравнения Эйлера-Пуассона).

5. Некоторые известные случаи интегрируемости: случаи Эйлера, Лагранжа, Ковалевской.



Тема 6. Симплектическая геометрия групп Ли и

интегрируемые гамильтоновы системы.

1. Полупростые и компактные группы и алгебры Ли. Форма Киллинга.

2. Орбиты коприсоединенного и присоединенного представления групп Ли (пример, когда эти орбиты различны).

3. Каноническая симплектическая структура на орбитах. Косой градиент и градиент.



4. Многомерные уравнения Эйлера на матричных алгебрах Ли.

5. Гамильтоновость уравнений типа Эйлера на орбитах матричных алгебр Ли.
страница 1
скачать файл

Смотрите также:
1. Двумерные поверхности
37.43kb. 1 стр.

Lentex sport (польша)
35.51kb. 1 стр.

-
353.22kb. 1 стр.

© pora.zavantag.com, 2018