pora.zavantag.com Статья поступила:, подписана в печать
страница 1



Математическое обоснование основных идей Николы Теслы

Северо-Западный Государственный Заочный Технический университет

191186,Санкт-Петербург, Миллионная, д.5,

E -mail Yakubovski@rambler.ru

Статья поступила: , подписана в печать
При малых поправках к тензору Галилея уравнение общей теории относительности сводится к волновому уравнению. Оно обобщает уравнение Максвелла, описывая электромагнитное поле при больших электромагнитных и гравитационных потенциалах. В силу нелинейности полученного уравнения, описывающего электромагнитное поле, возможны решения типа шаровая молния и вечный генератор Теслы, черпающий энергию из окружающей среды.
Ключевые слова: общая теория относительности, волновое уравнение, метрический тензор, нелинейные уравнения
УДК 539.1

PACS number: 04.20.-q, 41.20.-q, 95.35.+d


Mathematical substantiation of the basic ideas of Nicola Tesla
At small amendments to a tensor Galilee the equation of the general theory of a relativity is reduced to the wave equation. It generalizes the equation of Maxwell, describing an electromagnetic field at the big electromagnetic and gravitational potentials. Owing to nonlinearity of the received equation describing an electromagnetic field, type decisions a fireball and the eternal generator Tesla scooping energy from environment are possible.

Keywords: the general theory of a relativity, the wave equation, a metric tensor, the nonlinear equations


Уравнение общей теории относительности имеет вид (см.[1])

,

где получен из тензора Риччи, обозначаемого – свернутого тензора кривизны пространства, тензор энергии-импульса единицы объема тела, величина это гравитационная постоянная, скорость света.

Гравитационную массу представим, как и введем дополнительный множитель

, (1)

учитывающий электромагнитный заряд



.

При величине массы, удовлетворяющей условию , получим стандартное детерминированное уравнение общей теории относительности. Причем гравитационный радиус имеет размер, соответствующий размерам квантовой механики. Это необходимо при использовании метрического тензора, чтобы он имел характерный размер, соответствующий размерам элементарных частиц. Процесс излучения электромагнитной энергии связан с имеющим малые размеры электроном. Выдвигается гипотеза, что при больших потенциалах электромагнитного поля, оно описывается существенно нелинейным уравнением общей теории относительности. Большие потенциалы возникают при малых расстояниях до излучателя в виде элементарной частицы или в таких макро явлениях как молния.

Построим, метрический тензор общей теории относительности по функции Лагранжа для малых скоростей в случае электромагнитного и гравитационного поля. Функция Лагранжа для электромагнитного и гравитационного поля, равна

,

где четырехмерная скорость при малой скорости движения тела равна . Вводя вместо заряда комплексный заряд , где гравитационный потенциал входит в потенциал . Имеем соотношение



,

Причем справедлива формула



.

Мнимый электрический заряд является естественным обобщением формулы (1), так как его использование в сочетании с формулой (1), приводит к волновому уравнению с мнимым зарядом в правой части, которое следует из уравнения общей теории относительности. Комплексно сопряженное значение мнимого заряда входит в формулу для Лагранжиана. Введение мнимого заряда позволяет единым образом описать отталкивание зарядов одного знака и притяжение гравитационных масс. При таком определении статический закон взаимодействия зарядов и масс будет одинаков. Образовавшийся потенциал будет мнимым, но будучи умноженным на мнимый заряд, дает действительную силу. Кроме того, заряды и массы подчиняются одинаковым волновым уравнениям. Значение элементарного заряда гораздо больше массы элементарных частиц , и поэтому элементарные частицы излучают только электромагнитную энергию, а излученная гравитационная энергия пренебрежимо мала. Поэтому считается, что в волновом уравнении временной член для уравнения относительно гравитационного поля равен нулю. В случае больших масс, излучение будет не дипольным. Будет образовываться стационарное поле, аналогичное электрическому и магнитному полю, только действительное.

При этом у метрического тензора один из двух индексов сделаем отрицательный. Это позволит для диагональных элементов получать комплексные значения, которые при перестановке индексов соответствуют комплексно сопряженному значению. При перестановке индексов для не диагональных элементов тоже получаем комплексно сопряженное значение. При изменении всех знаков индексов тоже получаем комплексно сопряженное значение. При этом отметим, что квадратичная форма, полученная из этих комплексных метрических тензоров действительна

,

для метрического тензора, соответствующему электромагнитному и гравитационному полю специальной теории относительности, описывающей инерционную систему отсчета при малых скоростях движения, получим







отметим, что в данных формулах индексы и отличаются, как если бы вместо нуля стояла другая целая цифра. В случае равенства нулю заряда, т.е. наличие только гравитационного поля, в случае малых скоростей, , получим



, .

При этом для вспомогательного тензора энергии-импульса для материальных тел с учетом отрицательных индексов имеем , плотность массы тела, откуда , . Деление на 2 величины основано на равенстве при малых скоростях движения. Тогда имеем из уравнения общей теории относительности



,

или опуская верхние индексы для не релятивистского случая, получим



Где величина определяется по формуле . Выполняется , где малая поправка к метрическому тензору Галилея. Итак, имеем и уравнение для тензора , получим



,

Где безразмерное время определяется по формуле , причем используемый потенциал безразмерен . Из полученных формул следует, что нерелятивистское уравнение для электромагнитного и гравитационного поля можно получить из уравнения общей теории относительности при малых скоростях, или энергиях движения в системе покоя центра тяжести рассматриваемых тел.

При малой добавки к метрическому тензору Галилея, необходимо учесть дополнительные условия , которые являются калибровочными условиями для малых электромагнитных полей. Имеем следующие формулы для свертки , так как имеет не нулевое значение, только в случае если один из индексов равен нулю. При индексе , получим кулоновскую, или поперечную калибровку . При остальных индексах надо учитывать метрический тензор соответствующий пространственным компонентам, для которых получена формула только в нулевом приближении.

При этом дополнительное уравнение движения материального тела следует из уравнений движения



, (2)

где сила Лоренца входит в формулу для символа Кристоффеля в уравнении (2) при малой скорости движения.

Докажем, что в нерелятивистском случае формула (2) определяет силу, являющуюся электромагнитной и гравитационной. Т.е. силу, определяемую напряженностью магнитного и электрического поля, плюс сила гравитационного потенциала. Символ Кристоффеля равен

,

При значении метрического тензора близком к метрическому тензору Галилея, получим



,

где для величины получим следующее выражение



,

где величина является четырехмерным электродинамическим потенциалом. Причем для величины метрического тензора нужно использовать один нулевой индекс. Величину нужно удвоить, по сравнению с величиной , так как при перестановке индексов первая формула существует в одном экземпляре, а вторая формула в силу симметрии удваивается. Получаем силу Лоренца, равную



,

т.е. никакого дополнительного члена в уравнение движения (2), учитывающего влияния электромагнитного поля, вводить не надо. Отметим, что величина является комплексной, пропорциональной величине . Т.е. получаем правильную формулу для действующей на заряженную частицу силы в нерелятивистском приближении



Кроме того, описывается и гравитационная сила, входящая в потенциал . Введение понятия мнимого заряда и влияния электромагнитного поля на гравитационные массы позволяет описать движение космических кораблей, приближающихся к Земле не вдоль экватора. Было измерено см.[2] дополнительное ускорение космических объектов, которое можно объяснить влиянием магнитного поля на полюсах Земли на массивные тела на больших высотах.

При этом для величины силы, действующей на массу в магнитном поле, имеем следующее значение в системе Си

,

где скорость движения тела. При этом ускорение при напряженности поля равно



,

и направлено перпендикулярно скорости и напряженности поля . За характерное время нахождения в поле тяготения Земли , где радиус Земли, тело приобретет боковую скорость



что соответствует экспериментальным данным [2], добавка скорости порядка величины . Отметим, что эта добавка максимальна, когда огибается полюс. При этом напряженность магнитного поля направлена вдоль радиуса и, следовательно, ортогональна скорости движения. В случае круговой орбиты, проходящей через полюс, влияния двух полюсов компенсируются. В случае вращения тела вдоль экватора магнитное поле определяет силу, действующую по направлению радиуса и создающую дополнительное центростремительное ускорение. Отметим, что разброс в экспериментальных данных приращения скорости объясняется не стабильным магнитным и электрическим полем Земли на больших высотах разные время суток и в разное время года.

Вдали от центра частицы, когда слабое и сильное взаимодействие мало, при малой величине потенциала электромагнитный и гравитационный потенциал определяется из метрического тензора с нулевым индексом, где этот потенциал входит линейным образом. При большом электромагнитном и гравитационном потенциале на малом расстоянии от центра частиц, понятие электромагнитного и гравитационного потенциала теряет свой смысл, и электромагнитное и гравитационное поля искривляет пространство и время. Это выражается в значительной величине метрического тензора и нелинейности уравнения общей теории относительности. При этом пространство макромира не искривляется электромагнитным полем в силу нейтрализации положительных и отрицательных зарядов. Заряды, образующие это поле в случае нахождении в физических телах, образуют диполи, и значит, статический потенциал этого поля спадает как величина , причем напряженность поля спадает как величина . Электрическое поле образует метрический тензор и, следовательно, напряженность электрического поля при больших радиусах зависит от знака заряда, и значит, заряды излучают, как диполи. Другое дело, при малых радиусах могут проявляться нелинейные эффекты. Но имеются явления, такие как молния, когда электромагнитное поле является большим и это явление не описывается уравнениями Максвелла.

Отметим, что решение с использованием обычных уравнений Максвелла в случае сильных полей может привести к абсурдному результату. Так в случае ядра, состоящего из многих протонов и одного вращающегося электрона, имеем формулу для статического потенциала поля, равная . Она приводит к формуле , описывающей основной уровень энергии атома, где , которая при ядре, содержащем много протонов, теряет физический смысл и требует модификации. Предлагается введение конечного размера ядра, состоящего из многих протонов. При этом мнимость решения возникает при условии . При этом строится теория, что при нулевой энергии электрона в атоме, происходит образование электрон, позитронных пар. Предлагается альтернативная теория, изменяющая поле на малых расстояниях, при которой расходимостей при приближении к нулевому радиусу у пространственных компонент метрического тензора не будет. В не связанной с частицей галилеевой на бесконечности метрике радиус частицы не может быть меньше гравитационного радиуса. Это значит, что по часам удаленного наблюдателя радиус сжимающейся частицы лишь асимптотически при стремится к гравитационному радиусу. При приближении с конечного радиуса, для определения времени изменения радиуса коллапсирующего тела определяется следующий интервал . Так как образуются частицы во время взаимодействия, первоначальный их размер мал, но он быстро уменьшается за счет коллапса частицы. Формула взята из [1].

Основное бесконечное время коллапса приходится на конечный интервал вблизи гравитационного радиуса частицы . Причем, время достижения положения в окрестности гравитационного радиуса у вновь образовавшейся частицы равно для электрона . Но при этом даже при бесконечном времени сжатия, гравитационный радиус не будет достигнут. Т.е. вновь образовавшаяся частица большую часть времени имеет размер гравитационного радиуса.

Оценим отклонение метрического тензора от тензора Галилея, при котором начнутся сказываться отклонение от уравнений Максвелла для электромагнитного поля. Для этого должно выполняться . Величина должна равняться . Т.е. при потенциале относительно бесконечности, равном наблюдается отклонение от уравнений Максвелла. Средняя напряженность поля может достигать на расстоянии в величины .

При вращении электрона вокруг ядра в атоме отношение энергии электрона к массе покоя порядка , это радиус Бора электрона. Эта величина определяет отличие метрического тензора от тензора Галилея. Но радиус ядра равен , т.е. на расстоянии уравнения Максвелла не справедливы (при этом радиусе имеем ), и необходимо использовать уравнения общей теории относительности. Т.е. поле можно рассматривать как удовлетворяющее уравнению Максвелла только при удалении от ядра.

Кроме того, это модифицированное уравнение может обосновать идею вечного генератора, изобретенного Теслой и описать шаровую молнию.

Покажем, что нелинейное уравнение для электромагнитного поля может иметь решение, позволяющее поддерживать энергию поля, расходуемую на совершение работы, черпая ее из окружающей среды. Для этого решим нелинейное уравнение общей теории относительности. Представляя метрический тензор в виде

.

При этом производная по времени равна . При этом функцию надо брать в виде , где расстояние между излучателем и приемником настроечной станции, с помощью которого будет создаваться огромное статическое поле в виде решения для метрического тензора. Углы определяются по формуле , где справедлива формула преобразования координат



,

При этом, знак третьей угловой зависимости изменяется, при одновременном переходе через нуль. Кроме того, выполняется .

Причем имеется 6 независимых компонент метрического тензора из десяти симметричных компонент. При этом имеется 12 независимых комплексных компонент, но они комплексно сопряженные. Подставляя это решение в уравнение общей теории относительности, умножая на величину , и интегрируя по пространству, получим систему нелинейных уравнений относительно . В случае если имеется источник энергии в виде заряда или массы, получим уравнение

. (3)

Это уравнение имеет стационарное решение в виде положений равновесия



.

Сводя источник поля к нулю, , нужно делать это таким образом, чтобы получить решение



.

При этом величина не равна нулю, а определяется из уравнения



.

При равенстве нулю этого определителя, величина определится с точностью до значения одного из коэффициентов, допустим, . Подставляя в определитель, равный нулю, определим этот коэффициент



.

Т.е. получим в пространстве не нулевое решение для существования метрического тензора без источника энергии. Причем решение нужно выбрать устойчивое, чтобы при отклонении значения метрического тензора от положения равновесия, система снова возвращалась к положению равновесия. Если оно устойчиво, то получится даровая энергия, связанная с устойчивым решением этого уравнения. Коэффициенты определят устойчивое значение метрического тензора , которое будет черпать энергию из окружающей среды. Ведь при уменьшении большой стационарной энергии электромагнитного поля, которую можно использовать для совершения работы с помощью электрического генератора, возникнет стремление к положению равновесия и значит, образование первоначальной энергии. Но при этом нужно построить систему, которая бы описывалась с помощью решения дифференциального уравнения (3), соответствующее положению равновесия, т.е. получить высокий электромагнитный потенциал в объеме пространства, по которому проинтегрировали уравнение общей теории относительности, получив уравнение (3).

Для работы генератора Теслы необходимо создать большое статическое электромагнитное поле в определенной части пространства. Создав это поле, оно будет поддерживаться, как стационарное решение в виде метрического тензора нелинейного уравнения общей теории относительности в окружающем пространстве. Этот созданный метрический тензор является таким же неустранимым и стационарным, как и гравитационное поле Земли и Солнца. Так же как гравитационное поле Земли и Солнца нельзя уничтожить, так и электромагнитный потенциал в виде стационарного решения для метрического тензора в свободном пространстве нельзя уничтожить. При этом можно будет черпать из него не ограниченную энергию. Вернее сказать, нужно добиться большой величины метрического тензора. Это умел делать великий Тесла. Тогда на большие заряды и массы в поле будет действовать сила, действующая со стороны поля, которая определяется из уравнения

Величина при малых полях это просто сила Лоренца и сила электрического поля , как показано выше по тексту. Элементарные частицы этим законом не описываются и к ним надо применять квантовые законы, учитывая изменения поля большого потенциала. Располагая замкнутую обмотку генератора вдоль направления электрического поля, получим толкающую силу, создающую ЭДС в обмотке генератора. При этом энергия будет расходоваться на нагревание проводника. Но стационарное поле общей теории относительности будет сохраняться, как устойчивое решение уравнения общей теории относительности, значит, по мере уменьшения напряженности поля оно будет возвращаться к своей прежней стационарной величине. При этом будет использована энергия окружающей среды. Вообще то, просто расположив мало весящий провод в пространстве, он установится вдоль силовых линий этого поля. С помощью этого опыта, можно будет установить направление силовых линий и значит, создать генератор. Отметим, что это поле не будет действовать на окружающий мир. Ведь напряженности электрического поля Земли , а никто не чувствует это напряжение. Впрочем, вопрос о безопасности большого статического поля метрического тензора остается открытым.

Докажем, что вакуум является разреженным газом. Он не является твердым телом, так как у него одна скорость распространения возмущения, а не две, как у твердого тела. Докажем, что электромагнитные волны поперечны. Величина комплексной плотности потока энергии определяется по формуле , где комплексная напряженность электрического и магнитного поля. Определим модуль этой волны и умножим его на мнимую экспоненту с половиной фазы этого вектора . Эта волна будет удовлетворять уравнению Гельмгольца и условию излучения. граничные условия для этой волны тоже можно определить. Получим продольную распространяющуюся волну, которая описывает свойства электромагнитного поля, не как поперечную, а как продольную волну, переносящую энергию, причем квадрат амплитуды этой волны определяет поток энергии, переносимой электромагнитной волной. Поэтому вакуум не является твердым телом, так как распространяющиеся в нем волны не являются поперечными.

Докажем, что при совершении работы метрическим тензором, энергия окружающей среды уменьшается, за счет уменьшения скорости света в этой области. Определим модуль комплексной скорости малого объема частиц вакуума, вращающихся с мнимой скоростью , номер частицы, добавленной к переменной скорости этих частиц , умноженной на . Доказательство того, что мнимая часть скорости соответствует вращению приведено ниже по тексту. Скорость вращения частиц вакуума имеет большую скорость. Скорость хаотичного поступательного движения зависит от окружающей среды. Считаем, что скорости частиц вакуума равномерно распределены в малом объеме



.

т.е. получаем формулу инвариантного интервала общей теории относительности. Величина равна



,

,

при этом коэффициент при временной компоненте метрического тензора равен



.

При этом воспользовались соотношением . Причем среднее от квадратов случайной величины равно квадрату среднего плюс дисперсия. Значит, величина может оказаться больше единицы при большой дисперсии мнимой скорости частиц вакуума.

При совершении работы генератором тока, в компоненте метрического тензора уменьшается скорость света , и уменьшается величина за счет уменьшения дисперсии ускорения поступательной скорости при уменьшении хаотичности скорости. При уменьшении дисперсии скорости уменьшается и ее средний квадрат, при неизменном среднем значении скорости, равном нулю. При этом величина компоненты метрического тензора останется неизменной, а энергия среды уменьшится за счет уменьшения скорости света. Величину метрического тензора с одним нулевым индексом можно выбором синхронной системы отсчета приравнять нулю. Тогда компонента магнитного потенциала войдет в компоненты метрического тензора . Кроме того, производная по координате и времени от скорости не коррелируют, и значит, коэффициент с одним нулевым индексом равен нулю.

Это решение уравнения общей теории относительности и описание возможного действия генератора, соответствует предсказанию о возможности генератора тока, производящего энергию из окружающей среды, который изобрел Никола Тесла.

Кроме того, возможно решение, описывающее шаровую молнию, которое соответствует положению равновесия с мнимым собственным числом, которое устойчиво конечное время. Шаровая молния, это особое решение для электромагнитного поля, образующее из этого поля дискретные объемы. Шаровая молния описывается обобщенным уравнением общей теории относительности, как некое стационарное решение.

Уравнение общей теории относительности содержит десять уравнений, так как тензор Риччи симметричен. Метрический тензор в связи с четырьмя возможными преобразованиями координат содержит шесть независимых компонент, можно еще определить комплексную величину плотности среды, действительная часть которой это масса, а мнимая часть заряд тела. Кроме того, имеется три независимые скорости. Итого 10 неизвестных и 10 уравнений. Метрический тензор я уже описывал. Представим плотность и скорость в виде ряда



.

Подставляем в уравнение общей теории относительности, умножаем на функцию и интегрируем по пространству. В релятивистском случае уравнения осложнятся нелинейностью скорости, но методом итераций можно решить уравнения и в этом случае. Получим, возможно, комплексные коэффициенты . Опишем физический смысл комплексной скорости. Физический смысл комплексной плотности описан выше. Комплексный метрический тензор, как обобщение решения волнового уравнения с комплексной правой частью описан выше. Трехмерную скорость потока можно представить в виде



.

Причем скорости определяются в виде интеграла от касательного и нормального ускорения, по формуле



.

Отметим, что тангенциальное ускорение и нормальное ускорение образуют скорость, которая направлена по касательной к траектории частицы. При этом тангенциальное ускорение определяется изменением величины скорости, а нормальное ускорение определяется изменением направления скорости. Величины это тангенциальные и нормальные орты. Тангенциальное ускорение определяется по формуле . Направление скоростей ортогонально и их сумма приводит к поступательному движению. При этом компонента декартовой скорости определяется по формуле . Дифференцируемые по времени компоненты этих проекций определяют тангенциальное и нормальное ускорение. При этом эти две величины ортогональны , так как подынтегральные компоненты ортогональны в любой точке отрезка интегрирования. В самом деле, допустим сумма ортогональна до определенного момента времени. Докажем, что и в следующий момент времени она тоже ортогональна



При этом первый и последний члены ортогональны. Докажем что сумма второго и третьего члена равна нулю, для чего представим их в виде



.

При этом суммарная скорость движения определяется по действительной и мнимой части скорости.

При этом определить действительную скорость по комплексной скорости движения нужно из равенства

.

Для определения действительной декартовой скорости по комплексной скорости имеем значение тангенциального и нормального ускорения в каждой точке траектории используя значение модуля комплексной скорости. Зная, что они ортогональны, и зная начальную скорость потока, можно определить скорость в любой точке пространства. При этом направления тангенциального и нормального ускорения , определяются из значения в текущий момент времени.

Найдем область в декартовом фазовом пространстве, в котором определится величина из формулы

.

Где величина это метрический тензор системы координат. Получим уравнение характеристик этого дифференциального уравнения с частными производными первого порядка



.

Решаем это дифференциальное уравнение с начальными условиями , где эта функция имеет период по всем аргументам. Которые выберем из трех начальных условий . При этих начальных условиях функции определятся однозначно. В результате решения получаем . Откуда имеем решение . Кроме того, подставляя уравнение характеристик в уравнение (4.3) имеем решение .

При этом будем иметь особое решение с границами, удовлетворяющие . Т.е. имеем уравнение поверхности, определяющей границу области . Причем имеем на границе области так называемое обратное течение, т.е. стремление потока к границе с двух сторон границы. Это невозможно, и в области, ограниченной условиями с границей, возникает особое решение. При этом имеем две такие области, вторая определится из уравнения

При этом обратное течение невозможно и возникает особая область, для которой имеем другое решение. Если решение стационарно, то уравнение границы не зависит от величины .

. Тогда решение для скорости внутри этих областей будет

. (4)

Где введена новая масштабированная угловая переменная , где - экстремальные значения границ особой зоны. Отметим, что решение для компонент считаются для разных областей. Кроме того, введем масштабированный радиус



,

где - максимальное и минимальное значение радиуса границы этой зоны. В случае равенства нулю знаменателя, числитель тоже равен нулю. Формула для радиуса в случае равенства нулю знаменателя



.

При этом от величины радиус не зависит. Коэффициенты определятся из значений решения в пределах границы этой зоны , где .

Коэффициенты определятся по формуле, где координаты выражены через координаты , причем в точке величина не определяется через координаты .

.

Так как функция принимает на концах интервала разные значения, и граница определяется на криволинейной поверхности, ряд будет разрывный и значит, коэффициент убывает при условии как , т.е. это решение с дискретными образованиями.

Формулу (4) можно переписать в виде (5)

, (5)

где в данном случае имеем и тогда скачок с амплитудой и фазой , определится из уравнений



, (6)

где индексы имеют значение . Так как ряд в левой части (6) имеет зависимость индексов , значит, величины определятся.

Отметим, что . При этом правая часть (5) определит его дискретную сумму при конечном числе членов. Отметим, что решать нелинейное уравнение (6) нужно только один раз. Из него можно составить дифференциальную систему уравнений

.

Причем эту систему дифференциальных уравнений можно разрешить относительно , так как имеем

В этой области плотность образует дискретные объемы, помимо элементарных частиц. В этих дискретных объемах непрерывное поле с большой электромагнитной энергией образует из поля новые дискретные объемы, которые и являются шаровой молнией. Именно, поэтому, шаровая молния может исчезать при уменьшении напряженности электромагнитного поля, так как дискретные объемы ликвидируются. Образование шаровой молнии из электромагнитного поля объясняет ее возникновение из предметов и прохождение через диэлектрики.

В статье приведено математическое и физическое обоснование основных идей Теслы. Предложена возможная схема генератора Теслы и описана шаровая молния, которую умел получать Тесла.



Список литературы

  1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля т.II, Наука, М.,1973.

  2. John D. Anderson, James K. Campbell, John E. Ekelund, Jordan Ellis, and James F. Jordan // Anomalous Orbital-Energy Changes Observed During Spacecraft Flybys of Earth. Phys. Rev. Lett. 100, 091102 (2008)


страница 1
скачать файл

Смотрите также:
Статья поступила:, подписана в печать
205.1kb. 1 стр.

Там, где печать свободна, никто не свободен
172.35kb. 1 стр.

Статья Цели проведения соревнований
1708.44kb. 5 стр.

© pora.zavantag.com, 2018